多项式不等式(下):高次不等式(Polynomial ine

发布时间:2020-06-29

浏览量:265


连结:多项式不等式(上)

若 $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{…}+a_1x+a_0$$ 是个 $$n$$ 次多项式,且係数都是实数时,
则 $$f(x)$$ 一定可以因式分解成实係数一次因式或实系数二次因式的乘积,

$$\begin{multline*}f(x)=a_n(x-{\alpha}_1)(x-{\alpha}_2)\mbox{…}(x-{\alpha}_k)(x^2-\beta_1x+\gamma_1)(x^2-\beta_2+\gamma_2)\\\mbox{…}(x^2-\beta_mx+\gamma_m)\end{multline*}$$

,其中 $$k+2m=n$$,且 $$x^2-\beta_1x+\gamma_1=0$$,$$x^2-\beta_2x+\gamma_2=0$$,$$\mbox{……}$$,$$x^2-\beta_mx+\gamma_m=0$$ 均无实根(参阅拙文,〈实係数多项式方程式虚根成对定理〉),也就是说 $$x^2-\beta_1x+\gamma_1$$,$$x^2-\beta_2x+\gamma_2$$,$$\mbox{……}$$,$$x^2-\beta_mx+\gamma_m$$ 均恆正。

由上述可知,要解不等式 $$f(x)>0$$,$$f(x)\geq{0}$$,$$f(x)<0$$,$$f(x)\leq{0}$$,仅需要考虑 $$a_n(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\mbox{…}(x-\alpha_k)$$ 即可。接下来,举实例说明比较清楚。

例题1:解不等式 $$x^6-1>0$$

解:因式分解 $$x^6-1=(x^3-1)(x^3+1)=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)$$

其中 $$x^2+x+1$$ 与 $$x^2-x+1$$ 恆正,消去它们并不会影响原式之正负,

即 $$x^6-1$$ 与 $$(x-1)(x+1)$$ 同号,故 $$x^6-1>0$$ 与 $$(x+1)(x-1)>0$$ 有相同的解。

再讨论 $$(x+1)(x-1)$$ 在各区间之正负:当 $$x>1$$,$$(x+1)(x-1)$$ 之值为正;

当$$-1

即得不等式之解为 $$x>1$$ 或 $$x<-1$$。此过程可用下图表示。

多项式不等式(下):高次不等式(Polynomial ine

例题2:解不等式 $$(x-1)(x-2)(x-3)<0$$

解:由 $$(x-1)(x-2)(x-3)$$ 在各区间之正负可得下图,

由图可知不等式之解为 $$2

多项式不等式(下):高次不等式(Polynomial ine

例题3:解不等式 $$(x+1)(x-0.5)^2(x-1)^3\geq{0}$$

解:先考虑 $$(x+1)(x-0.5)^2(x-1)^3=0\Longrightarrow{x}=-1,0.5,1$$。

再考虑 $$(x+1)(x-0.5)^2(x-1)^3>0$$,即 $$x\neq{-1}$$ 且 $$x\neq{0.5}$$ 且 $$x\neq{1}$$,

此时 $$(x-0.5)^2$$ 与 $$(x-1)^2$$ 恆正,

消去它们并不会影响 $$(x+1)(x-0.5)^2(x-1)^3$$ 之正负,

故 $$(x+1)(x-0.5)^2(x-1)^3>0$$ 与 $$(x+1)(x-1)>0$$ 之解相同。

由例题1知 $$(x+1)(x-1)>0$$ 之解为 $$x>1$$ 或 $$x<-1$$。

所以,$$(x+1)(x-0.5)^2(x-1)^3\geq{0}$$ 之解为 $$x\geq{1}$$ 或 $$x<-1$$ 或 $$x=0.5$$。

综合上述三个例题,

解高次不等式 $$f(x)>0$$,$$f(x)\geq{0}$$,$$f(x)<0$$,$$f(x)\leq{0}$$ 可分成三个步骤:


相关推荐

周边能源科技|要性数字|技节能源|网站地图 letou瑞丰_天8娱乐登录测速地址 易胜博网址注册_大圣娱乐微信二维码 银猫娱乐_ku娱乐官方app mg摆脱网站试玩_发条娱乐2020最新版苹果 凯时E皆AG发财网来就送38_上葡京国际老平台 大奖888黄金版登录_多盈娱乐手机 宝马娱乐bmw0011_博金城娱乐 巴黎人官方网站首页_sunbet亚洲 金博宝下载_娱乐国际平台排名 亚虎pt客户端登录_mg游戏账号中心